Minden a szabályosságon múlik
Ha nincs pontosság, legalább abban bízhatunk, hogy az egyenlet „szabályos” megoldásokat ad: vagyis nincsenek benne hirtelen, fizikailag lehetetlen ugrások vagy durva kilengések. Lényeges szempont, hogy ha egy megoldás szabályos, azt matematikai trükkökkel közelíteni is lehet, és így ismereteket szerezhetünk a vizsgált folyamatról.
Azonban rengeteg valós fizikai problémát leíró PDE megoldásáról nem bizonyították be, hogy szabályos lenne. Különösen egy különleges PDE-csoporttal éveken, évtizedeken át nem boldogultak: kidolgozták hozzá az elméletet, de ennek egy része ezen az alcsoporton „nem működött”. Ez egy hatalmas falnak bizonyult.
Kiegyensúlyozott vagy kaotikus?
Képzelj el egy vulkánkitörést, amikor olvadt láva hömpölyög, majd idővel, órák, napok, vagy akár még lassabban lehűl és egyensúlyba kerül. Az egyensúlyi állapotban a hőmérséklet már nem változik időben, csak térben – ahogy például egy hídon az erők eloszlása is csak helyenként változik, időben nem.
Ilyen helyzeteket az elliptikus PDE-k írnak le. Ilyen például, hogyan oszlik el a tápanyag egy tumorsejtben, hogyan áramlik az olaj a kőzetben, vagy éppen a láva hőmérséklete. Az eredmény az, hogy minden pontban tudnunk kell, mi történik – ez pedig rengeteg változót jelent.
A módszerek akkor működnek jól, ha a megoldás szabályos, vagyis nincsenek térbeli hirtelen ugrások (azaz nincs olyan hely, ahol a láva hőmérséklete drasztikusan változna). Ha gond van, az szinte mindig a szabályosság hiánya miatt történik.
Az 1930-as években a lengyel Stefan Schauder kereste azokat az alapfeltételeket, amelyek garantálják a szabályosságot. A válasz stílusosan egyszerű: elég, ha a modell szabályai (például a hővezetés törvényei) nem változnak túl hirtelen, helyről helyre.
Aztán jött a való világ: a láva nem homogén, hanem olvadt kőzet, gázok és kristályok keveréke. Itt viszont a szabályosság törvényei már nem ilyen barátságosak: néhol a hő gyorsan, máshol szinte alig terjed – ezt nem egységesen elliptikus PDE-kkel írják le. Ilyen esetekre senki nem tudta Schauder elméletét bebizonyítani.
Az olasz áttörés kezdete
A 2000-es évek elején Giuseppe Mingione, fiatal olasz matematikus, egy oroszországi konferencián újra nekilátott a problémának. Egy éjjeli olvasás során jött rá, hogy a nem egységesen elliptikus PDE-k esetében még akkor sem feltétlen szabályos a megoldás, ha teljesül Schauder feltétele.
Visszatérve Olaszországba, kollégáival együtt egy új feltételt vezettek be: az ilyen PDE-knél nemcsak fokozatos változás kell a szabályokban, de a változások mértékét is szigorúan korlátozni kell – minél egyenetlenebb az anyag, annál szigorúbb a kontroll. Ezt egyenlőtlenség formájában is megadták: az adott rendszer csak egy bizonyos határig képes eltűrni az egyenetlenséget.
Bebizonyították, hogy ahol ez az egyenlőtlenség nem teljesül, ott a szabályosság sem garantálható. A pontos határt azonban nem sikerült meghúzniuk, Mingione évekig dolgozott rajta, majd abbahagyta.
A “szellemegyenlet” kulcsa
Majdnem 20 év elteltével, 2017-ben érkezett egy ifjú doktori hallgató, Eleonora De Filippis. A tapasztalt matematikusok igyekeztek lebeszélni a reménytelennek tűnő problémáról, de ő nem tágított, felvette a kapcsolatot Mingionéval, és Skype-on elmondta, hogy van ötlete a bizonyításra. A közös munka új lendületet adott Mingionénak.
A bizonyítás lényege, hogy kimutassák: a megoldás „gradiensének” (azaz hogy mennyire hevesen változik egy pontban) nem szabad túl nagynak lennie. De közvetlenül ezt sem lehet kiszámolni, így egyfajta „szellemegyenletet”, egy árnyék-egyenletet vezettek le. De Filippis ötletének köszönhetően ezt elég finoman tudták kezelni ahhoz, hogy „visszanyerjék” a gradiens viselkedését; majd részeire bontva, minden egyes darabját külön-külön becsülték.
A 2022-es preprintjük alapján minden olyan PDE-re, amely teljesíti Mingione egyenlőtlenségét, immár garantálható a szabályos megoldás, de még maradtak fehér foltok. Ahhoz, hogy végleg lezárhassák a történetet, minden eddiginél pontosabb becslésre volt szükségük – hibahatár nélkül.
Idővel a végső bizonyítás is sikerült, pontosan ott húzták meg a határt, ahol Mingione évtizedekkel korábban sejtette.
Új korszak a matematikában
De Filippis és Mingione ezzel nem csupán egy majdnem évszázados projektet fejeztek be, de lehetővé tették számos fizikai, kémiai vagy éppen biológiai folyamat valósághű modellezését anélkül, hogy kényszerből leegyszerűsítenék az egyenleteket.
Mostantól nemcsak térbeli, hanem időben is változó PDE-khez is adaptálható lesz a módszer. Többek között a tudományos közösség izgatottan várja, hogy mennyi mindent lehet majd leírni – vagy megérteni – az új matematikai eszközök segítségével. Lényeges szempont, hogy eddig matematikailag szinte eleve reménytelennek tűntek ezek az egyenletek – mostantól azonban már csak „kicsit” nehéz őket megoldani.
