Az egyszerű kísérlettől a matematikai rejtélyekig
Joseph Plateau belga fizikus már gyermekkora óta lelkesedett a kísérletekért, de a legismertebb kutatása az 1800-as évek közepén született: drótkereteket merített szappanos vízbe, majd figyelte, milyen hártyák feszülnek ki közöttük. A kör alakú kereten sík korong, két párhuzamos gyűrűn pedig homokórára emlékeztető katenoid (catenoid) jött létre. A különféle drótvázakkal szinte végtelen formavilágot lehetett előcsalogatni – köztük nyereg alakokat, spirális rámpákat, vagy akár olyan bonyolult hártyákat, amelyek nehezen írhatók le.
Az ezekből a kísérletekből kirajzolódó felszínek mindig igyekeztek minimális területet felvenni. Fontos, hogy Plateau sejtését végül matematikai úton is sikerült igazolni, ám csak a 20. század elején sikerült két matematikusnak, Jesse Douglasnak és Radó Tibornak véglegesen bizonyítania: bármilyen zárt görbéhez – vagyis drótkerethez – található olyan kétdimenziós felszín, amely pontosan ezt a határvonalat követi, és területét minimalizálja. Ez a bizonyítás Douglasnak elhozta az első Fields-érmet is, a matematikai Nobel-díjat.
A dimenziók számítanak – és bonyolítanak
Az elmúlt évszázadokban egyre szélesebb körben tanulmányozták ezeket az úgynevezett területminimalizáló felszíneket. Ezek nem csupán a matematika és geometria számára fontosak, hanem orvosi kutatásokban, anyagtervezésben, a fekete lyukak vizsgálatában vagy biomolekulák tervezésénél is kulcsszerepet kapnak.
Matematikai szempontból Plateau sejtése bizonyos dimenzióig mindig igaz: hét dimenzióig a minimalizáló felszínek minden esetben simák, egyértelműen és jól vizsgálhatók. Ezzel szemben magasabb dimenziókban előfordulhat, hogy a felszínek összehajlanak, megcsavarodnak, vagy – ahogy matematikailag mondjuk – szingularitások jönnek létre rajtuk. Ilyenkor nehezebb a vizsgálatuk, hiszen a felszín nem mindenütt sima, és akadnak rajta „problémás”, pontszerű vagy vonalszerű hibák.
Következésképpen a matematikusokat már régóta érdekli, mennyire gyakoriak ezek a szingularitások a magasabb dimenziókban, és hogy kis változtatásokkal (például a drótkeret enyhe alakításával) vajon el lehet-e tüntetni őket.
Az áttörés: Út a nyolcadik dimenziótól felfelé
Wendell Fleming 1962-es bizonyítása igazolta, hogy háromdimenziós térben a területminimalizáló felszínek mindig simák – vagyis a szappanhártyákkal végzett kísérletek során nincsenek szingularitások. Négytől hét dimenzióig ugyanez maradt a helyzet.
Azonban Jim Simons 1968-ban egy hétdimenziós alakzatot talált a nyolcdimenziós térben, amely csak egyetlen ponton tartalmazott szingularitást. Ezt hamarosan igazolták is: nyolcdimenziós térben már tényleg lehet szingularitású minimalizáló felszín.
A következő évtizedekben Robert Hardt és Leon Simon azt is bebizonyították, hogy ezek a szingularitások szerencsére könnyen eltüntethetők: ha a keretet elég ügyesen változtatjuk, ki lehet simítani a felszínt. Ezt a szaknyelvben generikus regularitásnak nevezik, és akkor csak a nyolcadik dimenzióig lehetett bizonyítani.
Új módszerek, új távlatok
Az áttörést három matematikus, Otis Chodosh, Christos Mantoulidis és Felix Schulze hozta el, amikor a régi eredményt új módszerekkel bizonyították nyolcdimenziós térben, majd továbbhaladtak a kilenc- és tízdimenziós terekbe is.
A bizonyítás lényege, hogy ellentmondásra vezették vissza a problémát: feltételezték, hogy a szingularitásokat nem lehet eltüntetni, majd azt mutatták ki, hogy ez lehetetlen, mert a matematikai szabályok alapján ilyen esetben tilos lenne vonalszerű szingularitásokat létrehozni – amelyeket viszont éppen előállítottak volna, ha igaz lenne az eredeti feltevés. Fontos, hogy ebben a dimenziótartományban, vagyis kilenc- és tízdimenziós terekben is igaz: el lehet tüntetni a szingularitásokat a minimálfelületekről, vagyis ezek általában simák.
Tizenegydimenziós térben azonban még bonyolultabb a helyzet, itt a szingularitások egy új „állatkertje” bukkan fel. Ehhez már segítségül hívták Zhihan Wangot, aki speciális szingularitásokat kutatott. Együttműködésük eredményeként végül tizenegydimenziós terekben is sikerült igazolniuk a simaság lehetőségét.
Láthatatlan előnyök és a jövő nagy kérdései
Az új bizonyítás különösen fontos általános relativitáselméleti megállapításoknál, például a pozitív tömegtételnél: eszerint az univerzum teljes energiája pozitív (azaz létezhet világegyetem, ahol minden energia összegzett értéke nagyobb, mint nulla). Ezt a minimalizáló felszínek segítségével már korábban, a hetedik dimenzióig igazolták, majd most, a friss eredmények alapján a bizonyítás a kilencedik, tizedik és tizenegyedik dimenzióra is kiterjeszthető.
Mindeközben ezek a felfedezések új lehetőségeket nyitnak meg geometriai, topológiai vagy akár fizikai problémák megoldásában is. A matematikusok remélik, hogy a frissen kifejlesztett módszerek még mélyebb összefüggésekre derítenek fényt, és még nem látható kérdésekre is választ adnak majd.
Következésképpen két út nyílik meg: vagy sikerül majd még magasabb dimenziókban is simává tenni a minimálfelületeket, vagy egy ponton kiderül, hogy a szingularitások „kibújhatatlanul” beépültek a magasabb terek szerkezetébe. Akárhogy is, a matematika izgalmas időszak elé néz.
