Csomók természetrajza: egyszerű kérdés, bonyolult válasz
A 19. század végén Peter Guthrie Tait, a skót matematikus – akinek munkássága megalapozta a modern csomóelméletet – mérni szerette volna a csomók összegubancoltságát. Képzelj el egy zsineget, amelynek végeit összeragasztják. Két csomó akkor számít azonosnak, ha végtelenül hajlítgatva, tekergetve, de vágás nélkül átalakítható egyik a másikba. Csakhogy néha egy bonyolultnak tűnő csomó is lehet csak egy sima hurok, amit nehéz felismerni.
Tait ötlete a következő volt: tedd a csomót az asztalra, vágd el ott, ahol keresztezik egymást a szálak, cseréld meg a sorrendet, majd ragaszd vissza – ezt hívják keresztezési cserének. Ismételgesd ezt a műveletet, amíg a csomó egy egyszerű kör lesz, vagyis teljesen ‘kioldódik’. Az ehhez szükséges legkevesebb lépésszám a csomó kibogozási száma.
Lényeges hangsúlyozni, hogy két csomó, amelyek kibogozási száma eltérő, biztosan különböző. Ugyanakkor ez a szám több kérdést vet fel, mint amennyit megválaszol. Bár a kibogozási szám fontos mérőszám, sokszor szinte lehetetlen kiszámítani, és az sem világos, hogy mennyire tükrözi a csomó bonyolultságát.
Kibogozási számok összeadódnak – vagy mégsem?
Az 1930-as években a német matematikus, Hilmar Wendt felvetette, hogy amikor két csomót ‘összeadunk’ – vagyis egy hosszú zsinórból mindkét csomót megkötjük, majd a végeket összeragasztjuk –, az eredmény kibogozási száma egyszerűen a két eredeti csomó kibogozási számának összege kellene hogy legyen. Ez az ‘additivitási sejtés’ évtizedeken át irányította a kutatásokat.
Vegyünk egy példát: ha két csomó kibogozási száma 2 és 3, akkor az összekapcsolt csomót elvileg 5 keresztezési cserével lehetne kioldani, hiszen először az egyiket, majd a másikat kell ‘kibogozni’. De könnyen lehet, hogy egy ügyesebb megoldással kevesebb lépés is elegendő – ám a tudomány sokáig nem talált erre példát.
A matematikusok generációkon át próbálkoztak: vagy egy ellentmondást keresve, vagy az elmélet általános bizonyításával – mindhiába.
1985-ben ugyan sikerült belátni: ha mindkét csomónak 1 a kibogozási száma, az összegüké is 2 lesz. Ez reményt adott, hogy a világ ‘csomónkénti rendje’ valóban létezik, hiszen az egyszerűbb, ‘prím’ csomók kibogozási száma alapján minden további csomóé kiszámítható lenne.
Gépek, programok, füstölgő laptopok
A legújabb áttörésig azonban a matematikusok nem jutottak közelebb a nagy általános válaszhoz. Susan Hermiller és Stuart Brittenham tíz évvel ezelőtt elhatározták, hogy modern számítógépes eszközökkel fognak nekifutni a rejtélynek. A SnapPy nevű programmal, valamint különféle régi laptopokkal és szuperszámítógépekkel próbálták végigzongorázni több tízezer, majd mintegy hatvanezer különböző csomó összes lehetséges keresztezési cseréjét. Ez rengeteg adatot és komoly hőterhelést jelentett: előfordult, hogy egy gép füstölni kezdett, más bekormozódott, de a kutatók nem adták fel.
A ‘sneakernet’ becenevű hálózatukon – vagyis a gépeket gyalog, pendrive-okkal kötötték össze – hatalmas adatbázist építettek, amelyben minden eddig ismert csomó és az elméletileg számolt minimális kibogozási lépésszám szerepelt.
Egy idei pályamunka mesterséges intelligenciával kísérletezett ellenpéldák keresésével, de Brittenham és Hermiller úgy érezték, az alapos, kézzel karbantartott adathálózat jobb lesz a ‘szénakazalban tű keresésére’.
Lényeg a részletekben: kibogozás megszegve
A nagy áttörés idén tavasszal jött el: a kutatók azokat az összetett csomókat kezdték vizsgálni, ahol a lehetséges kibogozási szám felső és alsó becslése között nagy volt a szakadék. Érdekes példát kerestek, amikor egyik nap a program meglepő üzenetet küldött: ‘CONNECT SUM BROKEN’ – vagyis ‘Az összeg megszegve’. Először szoftverhibára gyanakodtak, majd újra lekötötték és kézzel végigpróbálták a keresztezéseket. Az eredmény helyes volt.
A csattanó: két darab (2,7) toruszcsomót (melyek kibogozási száma egyenként 3) összekapcsolva a létrejövő csomót nem hat, hanem csak öt lépéssel lehet kibogozni. Korábban mindenki azt feltételezte, hogy sosem lehet kevesebb, mint az összeadott kibogozási számok. Ezzel nem csak egy példát találtak, hanem végtelen sok hasonló ellenpéldát is azonosítottak.
Rend helyett káosz: a csomók teljesen kiszámíthatatlanok
Lényeges hangsúlyozni, hogy a felfedezés szerint a kibogozási szám nem viselkedik kiszámítható módon; egy ártalmatlannak látszó ‘csomóösszeg’ is kevesebb lépést igényelhet, mint a részek összege. Ez sok matematikus számára csalódás, hiszen így a világ nem egyszerűen ‘összekattintható’ prímcsomókból.
Ugyanakkor a mostani fordulat rengeteg új kutatási irányt nyit meg. Van, aki szerint így igazán izgalmas a terület, tele rejtélyekkel és váratlan kapcsolatokkal. Az is világossá vált, hogy a csomóelmélet ‘ősi’ kérdései még bőven rejtenek meglepetéseket.
Összességében elmondható, hogy néha a legegyszerűbbnek hitt fogalmak, mint a csomók kibogozása, a matematika legzavarbaejtőbb titkait is magukban hordozhatják.
