A tét elosztásának problémája – az első próbálkozások
Az úgynevezett pontprobléma, vagyis a tét igazságos elosztásának kérdése már a reneszánsz korában gondolkodóba ejtette a tudósokat, de a modern valószínűségszámítás akkor még nem létezett. 1494-ben az olasz matematikus, Luca Pacioli megpróbálkozott a probléma megoldásával az összegzés aritmetikai, geometriai és arányossági szabályairól szóló munkájában (Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita). Javaslata szerint a játékosok a megszerzett pontjaik arányában osszák el a tétet. Ebben az esetben a nyolc pontot szerző játékos kapná a tét 8/14-ed részét, vagyis körülbelül 28 600 forintot, míg a másik fél a fennmaradó részt. Ez ésszerű megoldásnak tűnt, de fél évszázaddal később Niccolò Tartaglia rámutatott, hogy ez az elosztás extrém esetben, például egyetlen érmedobás után igazságtalan lenne: aki nyert volna, az a teljes összeget vinné, pedig a játék még messze nem dőlt el.
A második próbálkozás és annak hibái
Tartaglia új megközelítéssel próbálkozott: azt javasolta, hogy az élen álló játékos kapja vissza a teljes tétjét, és az ellenfél pénzéből annyit, amekkora hányadban közelebb került a győzelemhez. A példában ez azt jelentette volna, hogy kétpontos előnynél az egyik játékos a teljes 25 000 forintját, plusz az ellenfél 20 százalékát kapta volna, így összesen 30 000 forinttal távozik. Ez extrém helyzetben igazságosabban hangzott, de hamar kiderült, hogy matematikailag mégsem helytálló: például egy 199–190-es állásnál, 200-ig tartó játékban a szinte biztosan nyerő fél aránytalanul alacsony részt vihetett volna el. Tartaglia maga is kételkedett abban, hogy létezhet tökéletes matematikai megoldás.
Pascal és Fermat: Megszületik a valószínűségszámítás
A helyzet az 1600-as évek közepéig nem változott, amikor egy francia szerencsejátékos, Antoine Gombaud, becenevén Chevalier de Méré fordult segítségért a matematika két legendájához, Blaise Pascal-hoz és Pierre de Fermat-hoz. Pascal hamar felismerte: a valódi megoldás nem az addigi pontarányban rejlik, hanem abban, milyen esélyekkel nyerhették volna meg a játékot a félbeszakítás után. Pascal és Fermat kétféle módszerrel is ugyanarra az eredményre jutottak – ezzel pedig megszületett a modern valószínűségszámítás.
Fermat összeszámlálása: A lehetséges jövők feltérképezése
Fermat a játék további összes lehetséges kimenetelét felsorolta: minden variációt, ahogy az érmedobások végződhetnének. Az arányos részesedést az döntötte el, hogy a hátralévő dobásokból hány lehetséges kimenetelben nyerne az egyik, illetve a másik játékos. Ha például valaki két ponttal vezet nyolc–hatnál a tízig tartó játékban, öt dobás múlva mindenképp döntés születik. A lehetséges 32 kimenetel közül 26 alkalommal nyerhet az előnyben lévő játékos – neki tehát a tét 81,25 százaléka, vagyis 40 625 forint jár. Minden variációt egyenként kellett volna felsorolni; ha eggyel több dobás volna hátra, már lényegesen több kombinációval kellene számolni.
Pascal visszafelé számolása: Várható érték
Pascal zsenialitása abban rejlett, hogy rájött: ha döntetlen az állás a megszakításkor, a pénzt egyenlően kell elosztani. Ezekből a végeredményekből lehet visszafelé haladva, lépésről lépésre megállapítani a megfelelő arányt minden állás esetén. Például kilenc–nyolcas állásnál az előnyben lévőnek két lehetősége van: fej esetén megnyeri a játékot és a teljes összeget, írás esetén döntetlenné válik az állás, majd egyenlő elosztás jön. Az előnyös játékos átlagban 75 százalékos pénznyerésre számíthat. Ez a gondolatmenet bármennyi pontkülönbségre alkalmazható: mindig a következő érmedobás két lehetséges kimenetelének várható értékét kell átlagolni. Ha öt dobás van hátra, Pascal módszere gyors és elegáns megoldást ad.
A várható érték: Modern kockázatkezelés alapja
Fermat és Pascal felismerése a várható érték elvén nyugszik: minden jövőbeni lehetséges kimenetelt annak bekövetkezési esélyével kell súlyozni, és ezek átlaga adja a tisztességes részesedést. Ma éppen ezt az elvet használják a biztosítótársaságok és a tőzsdei elemzők. Egy életbiztosítás árát, egy részvényportfólió elvárt nyereségét vagy egy viharbiztosítás költségeit is ugyanígy számítják ki: minden lehetséges forgatókönyvet megvizsgálnak, megállapítják a pénzügyi következményét, megszorozzák annak valószínűségével, majd összeadják az értékeket. Ez a matematikai gondolkodásmód tette lehetővé, hogy az emberiség a véletlen helyett tudatosan kezelje a bizonytalanságot.
Összességében elmondható, hogy egy egyszerű szerencsejátékos vita adta meg a lökést a valószínűségszámítás megszületéséhez – ennek köszönhetjük ma, hogy tudjuk, hogyan árazzuk be a jövőt, még ha magát a jövőt nem is tudjuk megjósolni.
