Miért nem elég már Einstein?
Az általános relativitáselmélet 1915-ös megalkotása óta páratlan pontossággal írja le a gravitációt: az univerzum tágulását, a fekete lyukak, gravitációs hullámok létezését, vagy akár azt, miként görbíti a tömeg a téridőt. Matematikailag tíz, egymással összefüggő differenciálegyenletből áll, amelyek évtizedeken át tökéletesen egybeestek minden megfigyeléssel.
Mindez azonban csak addig működik, amíg a téridő elég sima, azaz nincsenek benne hirtelen irányváltások, éles szögek, vagyis tulajdonképpen „szét nem szakad”. A fizikusok azonban tudják, hogy a valóságban, a fekete lyukak szingularitásainál vagy akár minden ponton, mikroszkopikus léptékben a téridő nem sima, hanem inkább darabos, pixeles, mint egy nagyított folyadékban az atomok és molekulák. Ilyenkor Einstein egyenletei már használhatatlanok: a klasszikus számítások elakadnak, a fizika pedig némán tűri a kaotikus részleteket.
A probléma gyökere, hogy Einstein elmélete a simaságra épül, azaz a kalkulusra, amely csak folytonosan változó mennyiségek esetén működik. Kunzinger és Smann egy 2015-ös hazafelé tartó repülőúton vetették fel először: mi lenne, ha a hagyományos számításokon túlmutató eszközöket találnának, hogy ne csak a „szép” világegyetemeket, hanem a vad, szaggatott, éles téridőket is kezelni tudják?
Háromszögekkel a téridő sarkain túl
2016-ban belevágtak: először az alapfogalmat, a görbületet vizsgálták meg. Meg akarták határozni a téridő Ricci-görbületét anélkül, hogy feltételezniük kellene a simaságot. Ez a típusú görbület központi eleme Einstein egyenleteinek, és alapvető a fekete lyukak és más asztrofizikai jelenségek leírásában.
A Ricci-görbület azonban bonyolult, ezért először az egyszerűbb, szelvényes görbület felől közelítettek. Hagyományos differenciálszámítás helyett háromszögek összehasonlítására épülő módszert honosítottak meg a téridőben is. A trükk: nem a legrövidebb, hanem az „időben leghosszabb” utak meghatározása, mivel a téridőben a legrövidebb út paradox módon kevesebb időt vesz igénybe. Így a háromszög mindegyik oldalához azt az ösvényt rendelték, amelyen egy fénysebesség alatti utazó órája a legtöbbet mutatja.
E háromszögek viszonyításával akkor is ki tudták számolni a görbületet, ha a téridő sarkaiban, szegélyein, gyűrődésein át vezet az út. Így például meg tudták mutatni, hogy egy fekete lyuk belsejében a szelvényes görbület tényleg végtelenbe szökik, még akkor is, ha a téridő egyáltalán nem sima.
Minden út a szingularitáshoz vezet?
1965-ben Roger Penrose világhírűvé vált: bizonyította, hogy adott feltételek mellett egy összeomló csillag gravitációs csapdát képez, amelyből már a fény sem tud kilépni, és szingularitás keletkezik – vagyis a fekete lyukak nem elvont elméletek, hanem elkerülhetetlen végtermékek. Stephen Hawking egy évvel később átemelte a gondolatot a kozmológiába: ha elfogadjuk a kiinduló feltételeket, valaha szükségképp volt egy szingularitás – magyarán egy Ősrobbanás (Big Bang).
A bökkenő: mindkét tétel csak sima téridővel működik. Kunzinger és Smann mostani módszerükkel viszont már bebizonyították, hogy kevesebb simaság is elég, sőt, egyszerűbb modelleken szögletes, gyűrött téridőkre is igazolható: az univerzum múltjában elkerülhetetlenül megjelenik a szingularitás.
Ez „proof of concept”: a háromszögmódszerük gyakorlati eredményhez vezet, és nem pusztán matematikai játszadozás. Ugyanakkor ez csak szelvényes görbületre működött teljes általánossággal, a teljes Penrose–Hawking-tételekhez több kellett volna: Ricci-görbület.
A homokból épült fortély
2018-ban a magyar származású matematikus, Robert McCann új eszközt, az optimális szállítást vonta be. A XVIII. századi, Napóleon korából származó ötletet (hogyan osszuk el leghatékonyabban a földet egy erődítéshez) McCann átültette a Ricci-görbület mérésére. Míg a szelvényes görbület azt mondja meg, hogyan hajlanak el a kétdimenziós síkok, a Ricci-görbület a téridő nagyobb léptékű görbülésének, térfogatváltozásának átlagát fejezi ki.
McCann módszere azonban még mindig feltételezte a simaságot. Csak röviddel ezután az oxfordi Andrea Mondino és Karl-Theodor Sturm, majd 2020-ban Mondino és Simone Suhr adaptálták az optimális szállítás ötletét a nem sima téridőkre. Ezzel sikerült Hawking eredeti szingularitás-tételét is igazolniuk szinte teljes általánossággal. Ez a bizonyítás immár nem követel simogatott, sima univerzumot – göröngyös, szögletes, viharvert téridőkben is elkerülhetetlen a szingularitások megjelenése.
Ahogy Christian Rohde, a koppenhágai matematikus fogalmazott: ezek a tételek még annál is alapvetőbbek, mint eddig hittük. Már nem követelmény a simaság, a szingularitás bármilyen kaotikus téridőben fellép.
Jön az új matek
A legújabb lendület sem állt meg. McCann, Smann és további hat kutató újabb technikákat keres, hogyan lehet Ricci-görbületet kalkulus (analízis) nélkül meghatározni, ezzel rugalmasabb eszköztárat adva a fizikusok kezébe. 2024-ben Cavalletti, Mondino és Davide Manini elsőként foglalkoztak nem sima téridőn fekete lyukakkal is.
A bécsi matematikuscsapat 7 millió eurós (kb. 2,8 milliárd forint) támogatást szerzett, hogy folytassák a munkát, új kutatókat vonzanak be, és a relativitáselmélet határait tovább feszegető projektekbe kezdjenek.
Steinbauer, a program vezetője szerint akár a kvantumgravitáció hőn áhított matematikai alapja is megszülethet ezeknek a kutatásoknak hála. Rengeteg kvantumgravitációs elmélet úgy sejti, hogy a téridő alapvetően diszkrét, pontokból áll össze, nem folytonos. Márpedig ezek a módszerek akkor is képesek a görbület meghatározására – és ha van görbület, talán a gravitáció is leírható. Smann végszava: az egész még csak most kezdődik, folyamatosan jönnek az újonnan belépők, az igazi felfedezések csak most indulnak.
