A természet titkos nyelve: hullámok és frekvenciák
Amikor zenét hallgatsz, a füled hihetetlen számítást hajt végre: az összetett hanghullámot szétválogatja a különböző magasságokra, azaz frekvenciákra. Ezt a bravúrt hajszálvékony szőrsejtek végzik a belső füledben, mindegyik más-más frekvenciára rezeg.
A matematikusoknak egészen a 19. századig kellett várniuk, hogy ugyanezt a trükköt elsajátítsák, csak éppen számokkal és függvényekkel. Jean-Baptiste Joseph Fourier volt az, aki a 19. század elején kidolgozta, hogyan lehet bármilyen bonyolult függvényt egyszerű hullámok (szinuszok és koszinuszok) összegére bontani, majd ezek összerakásával visszaállítani az eredetit. A máig Fourier-transzformációnak nevezett eljárás szinte minden alkalmazott és elméleti tudományágban alapvető eszközzé vált.
Érdemes megjegyezni, hogy ez a módszer nemcsak a matematikában és a fizikában nélkülözhetetlen (például a differenciálegyenletek és a kvantummechanika területén), hanem a számítástechnikában is: a hangfájlok tömörítése, a zajszűrés és a képfeldolgozás sem létezne nélküle.
Egy forradalmár matematikai szenvedélye
Fourier 1768-ban született a forradalom előtti Franciaországban, tízévesen már árva volt, ifjú korában egyházi neveltetést kapott, majd a matematika mellett döntött. Lelkesedett a francia forradalomért, ám a jakobinusok rémuralma idején majdnem a vérpadon végezte, csak a terror vége mentette meg.
Ezután visszatért a tanításhoz, majd tudományos tanácsadó lett Napóleon mellett; sőt, Egyiptomba is elkísérte az 1798-as hadjáratban, ahol az egyiptomi régiségeket is kutatta. Eközben az őt leginkább foglalkoztató problémára koncentrált: miként terjed a hő egy rúdban?
Szerinte a hő eloszlása felfogható úgy, mint különböző hullámok összege. Ahogy a forró fém lehűl, a hullámok elhalványulnak: először a gyorsak, végül a lassabbak is. Olyan, mintha egy nagyzenekar elhalkulna, és hangszerenként tűnnének el a hangok.
Fourier ötlete forradalmi volt, kollégái – például Lagrange – eleinte lehetetlennek tartották, főleg azért, mert hirtelen töréseket (például amikor egy fémrúd egyik fele forró, a másik hideg) is le akart írni végtelen számú sima hullámmal. A matematikusok sokáig úgy hitték, sima görbékből nem lehet éles sarkokat összerakni.
Mára azonban elfogadott tény: bármilyen, elég jól viselkedő függvény hullámokra bontható, kivéve néhány extrém, úgynevezett fraktálszerű görbét.
Mi történik a Fourier-varázslat közben?
A Fourier-transzformáció olyan, mintha valaki egy illatból ki tudná találni az összetevőket, vagy egy jazz-akkordból kihallaná a különféle hangokat.
Matematikailag ez egy olyan művelet, amely egy bonyolult függvényből kimutatja, hogy milyen frekvenciákból áll. Megvizsgálja, hogy az adott frekvenciájú szinusz- és koszinuszhullámok mekkora arányban találhatók meg az eredetiben. Például, ha az eredeti függvényt egy adott frekvenciájú hullámmal összeszorozzuk, és nagy átlagértéket kapunk, akkor az a frekvencia jelentősen jelen van benne. Ahol az átlag összevissza ingadozik, ott nincs jelentős hozzájárulás.
Így egy bonyolult probléma gyakran egyszerűbbé válik a frekvenciatérben – a nehezen kezelhető egyenletek átláthatókká lesznek. Amikor a függvényben éles váltás van, például egy lépcsős (digitális) jel esetén, a Fourier-transzformáció végtelen sok hullám összegeként közelíti azt – ezt nevezzük Fourier-sornak.
Hullámok a képekben és a digitalizáció forradalma
A Fourier-transzformáció nemcsak egy dimenzióban működik, hanem például képeken is: egy szürkeárnyalatos kép felfogható egy kétdimenziós függvényként, ahol a pixelek fényereje a változó. A transzformáció a képet sok kisebb frekvenciára bontja fel; ezek a sávos, sakktáblaszerű minták kombinációiból bármilyen kép előállítható.
Például egy 8×8 pixeles kép 64 különböző ilyen alapmintából rakható össze. Az eljárás segítségével a tömörítési algoritmusok (mint például a JPEG) el tudják hagyni a nagyon finom részleteket (nagy frekvenciájú minták) anélkül, hogy az emberi szem számára feltűnő lenne a változás. Így jóval kisebb tárhelyre van szükség egy kép tárolásához.
A gyors Fourier-transzformáció (FFT), amelyet James Cooley és John Tukey fejlesztett ki az 1960-as években, lehetővé tette a valós idejű jelanalízist; ma szinte minden digitális jelfeldolgozás során használják.
A hullámok ereje a tudományokban
A Fourier-transzformáció a tudományos élet szinte minden területére beszivárgott. Vizsgálják vele az árapály-jelenségeket, a gravitációs hullámokat, a radar- és MRI-rendszerek működését, zajszűrésre is alkalmazzák, sőt a kvantummechanika bizonytalansági elvének matematikai alapját is adja. Ha felírsz egy függvényt, ami egy részecske helyzetét adja meg, a Fourier-transzformáltja a részecske lehetséges impulzusait írja le. Ha nagyon pontosan ismered az egyiket, a másik információ elmosódik – vagyis a kvantumfizikai bizonytalanság színtiszta hullámegyenlet.
Összességében elmondható, hogy ha nem létezne a Fourier-transzformáció, a modern matematika és fizika jelentős része eltűnne a tudományból. Ez az eljárás tette lehetővé, hogy a világ bonyolult jeleit, adatait – legyen szó zenéről, fényről, képekről vagy akár a prímszámok eloszlásának rejtélyes matematikájáról –, elemi hullámokra bontva megértsük és elemezzük őket.
