Mi is az a racionális pont?
A görbék – például egy üstökös pályája vagy a tőzsde mozgását ábrázoló vonal – matematikailag polinomegyenletekkel írhatók le. Gondoljunk például az x² + y² = 1 egyenletre, amely egy kört rajzol ki a koordinátarendszerben. A kör minden egyes pontja egy-egy megoldást jelent az egyenlet számára, és ezek közül több megadható egész számokkal vagy azok arányaival is – például (1, 0). Vannak azonban irracionális megoldások is, amelyeket sosem lehet egész számok vagy törtek formájára hozni.
Az ókori matematikusokat már akkor lenyűgözte ezeknek a pontoknak a keresése – nem véletlen, hogy a számelmélet egyik alapvető kérdéseként tartják számon, hogy egy adott görbén hány ilyen racionális pont lehet.
Végtelen, de mégis véges
A kör, azaz egy másodfokú (fokszám 2) egyenlettel leírható görbe, végtelen sok racionális ponttal bír. Ugyanez igaz bármely más görbére is, ahol sem x-nek, sem y-nak nem nagyobb a hatványa, mint 2. Azonban már a harmadfokú (fokszám 3) görbéknél változik a helyzet: néha végtelen, néha véges számú ilyen pont fordul elő. 1922-ben Mordell matematikus vetette fel, hogy negyedfokú (vagy még nagyobb) egyenlet esetén mindig csak véges sok racionális pont található egy görbén. Ezt Gerd Faltings 1983-ban be is bizonyította, elnyerve ezért a Fields-érmet, vagyis a matematika egyik legnagyobb kitüntetését. Ettől függetlenül az már nem derült ki ezekből a munkákból, hogy konkrétan mennyi ilyen pont lehet.
Történelmi áttörés: itt a mindenre érvényes képlet
Az elmúlt évtizedekben a matematikusok lázasan kerestek egy olyan képletet, amely megadja minden görbére, hogy hány racionális pontja lehet. Február elején három kínai matematikus egy előtanulmányban bemutatta azt a képletet, amely bármilyen, tetszőleges fokszámú görbére alkalmazható, és felső korlátot ad arra, hogy legfeljebb hány racionális pont található rajta. Ez az első képlet, amely minden görbére egységesen alkalmazható, függetlenül attól, hogy pontosan milyen összetevőkből áll az adott polinom.
A képlet mindössze két tényezőtől függ: egyrészt a polinom fokszámától – minél nagyobb a fokszám, annál gyengébb a felső korlát –, másrészt egy speciális, minden görbéhez rendelhető matematikai felülettől, a Jacobi-varietástól. Ez utóbbi nemcsak magyarázatot ad a pontok eloszlására, de önmagában is izgalmas területet nyit a kutatóknak.
A következő nagy lépés a matematika világában
A fejlemények minden várakozást felülmúltak: ezzel a képlettel mostantól nemcsak azt tudjuk, hogy véges vagy végtelen sok racionális pontja van egy görbének, hanem felső határt is adhatunk számukra. Ez pedig új lendületet ad ahhoz, hogy többet tudjunk meg nemcsak a síkgörbékről, de bonyolultabb matematikai objektumokról is, mint a többdimenziós sokaságok (manifoldok), amelyek a modern matematika és az elméleti fizika meghatározó szereplői.
Az utóbbi évek új eredményei, köztük a kínai kutatók áttörése, valószínűleg egy új korszak kezdetét jelentik a több ezer éves racionális pontok kutatásának történetében. Az események gyorsasága és jelentősége most minden eddiginél nagyobb izgalmat kelt a matematikusok világában.
