A pálcikás fejtörő titkai
A klasszikus pálcikás feladvány azt kérdezi: ha van néhány véletlenszerűen 0 és 1 közötti hosszúságú pálcikánk, mennyi az esélye, hogy ezek közül három soha nem alkot háromszöget? A legtöbben ismerik azt a változatot, ahol egy pálcát véletlenszerűen három részre törünk, és azt vizsgáljuk, kirakható-e belőlük háromszög. Fontos megjegyezni, hogy ebben a problémában a pálcikák hossza nem feltétlenül adja ki összesen az egyet, ezért a lehetséges hosszúságok eloszlása is eltérő.
A múlt században Martin Gardner a Scientific American hasábjain, a Matematikai játékok rovatban népszerűsítette ezt a problémát, évtizedekre hagyományt teremtve a valószínűségszámítás kedvelői között.
Előkerül a Fibonacci – véletlenül
A történet egy egyetemi matematikaverseny feladatával kezdődött Cambridge-ben: Arthur Sun azon gondolkodott, hogy négy véletlenszerű pálcikából mennyi az esély, hogy bármely három soha nem alkothat háromszöget. Régi barátját, az ausztráliai Scotch College végzősét, Edward Wangot is bevonta a játékba. Számítógépes szimulációkat futtattak, és azt találták: négy pálcikánál majdnem pontosan egyhatod az esély, hogy nem lehetséges háromszöget alkotni.
De mi a helyzet több pálcikával? Wangék felfigyeltek a mintázatra, és bevontak egy tudós tanárt, David Treebyt is a kutatásba. Többezeres szimulációkat futtattak, majd rájöttek: ha n a pálcikák száma, akkor annak, hogy egyik hármas sem tud háromszöget alkotni, pontosan a legelső n Fibonacci-szám szorzatának reciprokához egyenlő az esélye. Például: ha hat pálcikát választunk, az esély 1/(1×1×2×3×5×8) = 1/240. Mindezek ellenére mindenkit meglepett, mennyire közvetlenül jelenik meg a Fibonacci-sorozatból ismerős arány.
Megpróbálták ezt igazolni, de rájöttek, statisztikusra is szükségük van. Így keresték meg Aidan Sudburyt, az ausztrál Monash Egyetem nyugalmazott matematikusát, aki segített befejezni a bizonyítást. Steven Miller, a Fibonacci Association elnöke úgy nyilatkozott: egyszerre közérthető és frappáns, régóta létező problémát bővítő eredmény született.
Miért pont a Fibonacci?
Nézzük az alaphelyzetet: ha véletlenszerűen választunk három pálcikát, ezek csak akkor alkothatnak háromszöget, ha egyik sem hosszabb a másik kettő összegénél. Ez a háromszög-egyenlőtlenség. Geometriai elemzés mutatja, hogy a pálcikahosszak minden lehetséges eloszlásánál az esetek pontosan felében lehetséges háromszöget alkotni: 1/(1×1×2) = 1/2.
Ami igazán izgalmas: bármennyi rendezett pálcikasor esetén, ha bármely három nem alkothat háromszöget, akkor minden új pálcika legalább olyan hosszú, mint a megelőző kettő összege. Ez pontosan a Fibonacci-sorozat definíciója: minden tag két korábbi összegéből épül fel, vagyis pontosan a háromszögalkotás határán mozgunk, de azt sosem lépjük át.
Matematikai gyönyör – de megoldásból lehet több is
A végső bizonyítás trükkje az integrálok használata; magasabb dimenziós térfogatok számításával született meg az eredmény, nem vizuális úton. A csapat szeretné továbbadni a stafétát – hátha akad valaki, aki egyszerűbb, még intuitívabb magyarázattal is előáll majd. Ennek fényében a rejtett Fibonacci-mintázat megjelenése a valószínűség világában új lendületet adhat a matematikai kutatásnak.
