A háromszögek belső szögeinek összege a középiskolából ismert módon 180 fok, igaz? Ez az euklideszi síkon mindig igaz, de ha gömbi vagy hiperbolikus térbe lépünk, furcsa dolgok történnek. Sík helyett gömbfelületen a háromszög belső szögei mindig többet adnak ki, mint 180 fok. A gömb sugarát 1-nek véve a háromszög területét megkapjuk, ha a belső szögek összegéből kivonjuk a 180 fokot: minél nagyobb a többlet, annál nagyobb a terület. Például elképzelhető egy háromszög, amelynek mindhárom szöge derékszög – egy csúcs az Északi-sarkon, kettő az Egyenlítőn.
Hiperbolikus háromszögek: a nulla szögösszeg nyomában
A hiperbolikus geometriában a háromszögek szögösszege mindig kisebb 180 foknál. Itt az eltérés nem többlet, hanem hiány, és éppen ez adja a területet. Kis háromszögeknél a szögek majdnem 180 fokot adnak ki, de minél nagyobbak lesznek, annál kevesebb az összegük – a határérték 0. Ez azt jelenti, hogy létezik olyan háromszög, amelynek szögösszege pontosan nulla; ilyenkor a háromszög területe maximális: π (kb. 3,14).
Végtelen kerület, véges terület
Az ilyen hiperbolikus háromszögeket speciális körívek határolják, amelyek a valós tengelyen találkoznak. Bár ezeknek a háromszögeknek a kerülete végtelen, a területük teljesen véges; a geometria törvényei szerint mindig ugyanakkora. Ilyen furcsaságok csak a nem euklideszi geometriák varázslatos világában történhetnek meg!
