A végtelen szimmetria világa
Különösen igaz ez akkor, ha a szimmetriák végtelen sokféle, folyamatos változatával találkozunk. Egy szabályos háromszögnek például csak hat szimmetriája van – elforgathatod vagy tükrözheted három helyen –, és ezzel el is fogytak a lehetőségek. Ezek a szimmetriák diszkrétek, egymástól élesen elkülönülnek.
Ezzel szemben gondolj egy frizbire! Nem számít, hány fokkal forgatod el, ha körbeértél, ugyanaz marad – a lehetséges szimmetriák száma végtelen. Ezek a folyamatos szimmetriák alkotják például az úgynevezett SO(2) csoportot, ahol minden egyes lehetséges elforgatás egy pont a körön, ami végső soron egy szép, tökéletes kört rajzol ki. Ez azonban csak a jéghegy csúcsa: a Lie-csoportokat – amelyeket Marius Sophus Lie norvég matematikus az 1870-es években írt le először – azért tartják különlegesnek, mert a csoportelméletet, a geometriát és a lineáris algebrát elegyítik egy egészen újszerű módon. Ezeknek a csoportoknak a sima, folyamatos geometriája az, ami felemeli őket a csoportok közül.
Marius Sophus Lie kalandos útja
Marius Sophus Lie nem mindig akart matematikus lenni. Az 1850-es években Norvégiában katonai pályára készült, de gyenge látása miatt erről le kellett tennie, ezért egyetemre került. Érdeklődött többek között a fizika, botanika, zoológia és csillagászat iránt is, de végül a geometria vonzotta magához. Az 1860-as évek végén Németországban és Franciaországban folytatta tanulmányait, ahol a francia–porosz háború alatt német nyelven írt matematikai jegyzetei miatt kémkedés vádjával le is tartóztatták – végül egy hónap múlva szabadult, és visszatért a matematikához.
Lie-t az motiválta, hogy Évariste Galois munkája nyomán a differenciálegyenletekre, vagyis a természet változásait modellező egyenletekre is csoportelméleti módszert találjon. Bár eredeti terve zsákutcába vezetett, felfedezte, hogy azok a csoportok, amelyekkel foglalkozott, önmagukban is izgalmasak és különlegesek, így született meg a Lie-csoport fogalma.
Lényeges szempont, hogy a Lie-csoportok „sokaságszerű” – matematikai nevén sokaság (manifold) – természete óriási előnyt jelent. Egy matematikus, amikor Lie-csoportot vizsgál, a geometria és a differenciálszámítás eszközeit is használhatja. Ha elég közelről nézzük, ezek a sokaságok – ahogy a Föld felszíne is laposnak tűnik az ott sétálónak – egyenesnek tűnnek.
A Lie-algebra: a szimmetriák egyszerűsítése
Vegyük csak az SO(2)-t, a frizbi elforgatásait leíró csoportot: ha csak nagyon kicsi elforgatásokat nézünk – mondjuk 1 foknál kisebbeket –, azok szinte lineáris mozgásnak tűnnek. Ezeket a kis elmozdulásokat egy egyenes szakasz, érintőként közelíthetjük: ezt az érintőegyenest nevezzük Lie-algebrának.
Ez a trükk elképesztően hasznos, hiszen az egyenes vonal mentén a számítások egyszerűvé válnak. A Lie-algebrák vektorokként ábrázolható elemeit pedig ki lehet használni a bonyolult csoportműveletek egyszerűsítésére. Akár két különböző csoportot is összehasonlíthatunk így, hiszen a Lie-algebrák lényegét ragadják meg a csoportok legfontosabb tulajdonságainak.
Lényeges szempont, hogy a Lie-csoportok és Lie-algebrák közti kapcsolat az egyik legmélyebb és legsokoldalúbb összefüggés a modern matematikában.
Szimmetria: a természet titkos nyelve
A természet tele van folyamatos szimmetriákkal. Gondoljunk a gravitációra! A Nap gravitációs vonzása a Földre csak a távolságon múlik – nem számít, melyik oldalon van a Föld. Matematikai nyelven szólva, a gravitáció szimmetriája SO(3), tehát a háromdimenziós térben bármely forgatás mellett változatlan.
Ráadásul minden alapvető fizikai kölcsönhatás, a gravitáció, az elektromágnesesség és az atommagot összetartó erők is Lie-csoport-szimmetriák alapján írhatók le. Így magyarázható, hogy a protonok mindig neutronokkal párban jelennek meg, és miért csak meghatározott energiaértékeket vehetnek fel az atomok.
Emmy Noether 1918-ban tovább erősítette a Lie-csoportok és a fizika kapcsolatát azzal, hogy bizonyította: minden olyan szimmetria, amit Lie-csoport ír le, egyúttal természetes megmaradási törvényt jelent. Például mivel a fizika törvényei az időben mindig ugyanazok – vagyis az időeltolás szimmetriáját a valós számok additív Lie-csoportja írja le –, az energia mindig megmarad.
Az MI és a csoportok végtelen ereje
A Lie-csoportokat ma is használják a matematikában és fizikában, hiszen elgondolkodtató példák tárházát kínálják, és minden, ami összetett szimmetriát hordoz, ezekre a struktúrákra vezethető vissza. Az univerzum mélyét feltáró kutatásokban éppen ezért mindenhol ott lapulnak: legyen szó számelméletről, kristályokról vagy a természet legmélyebb titkairól, a Lie-csoportok mindenütt ott rejtőznek, ahol szimmetria bukkan fel.
Ahogy a technológia, köztük az MI, fejlődik, a Lie-csoportokat már ma is alkalmazzák a szimmetriákkal kapcsolatos problémák gyorsabb, hatékonyabb megoldására – legyen szó fizikai rendszerek modellezéséről vagy éppen a számelmélet izgalmairól.
