A prímek eloszlása: a matematika Szent Grálja
A prímszámokat nemcsak felismerni szeretnénk, hanem megérteni is, hogy milyen szabályszerűségek szerint fordulnak elő a természetes számok között. Az egyik alapvető kérdés: vannak-e egyáltalán olyan mintázatok, amelyekkel előre jelezhetjük eloszlásukat? Ez a kérdés a matematikusok számára olyasmi, mint Indiana Jonesnak az Elveszett Frigyláda fosztogatói (Raiders of the Lost Ark).
Új módszer a mesterséges intelligencia és a számelmélet találkozásával
Ken Ono, a Virginiai Egyetem amerikai matematikusa, William Craig (US Naval Academy) és Jan-Willem van Ittersum (Kölni Egyetem) nemrég forradalmian új módszert dolgoztak ki a prímszámok felismerésére. Nem arra építenek, hogy megpróbálják felbontani a számot osztók szorzatára, hanem végtelen sok, teljesen eltérő kritériumrendszert vezettek be a prímek felismerésére. Ez gyakorlatilag végtelen sok új definíciót jelent arra, hogy mit nevezünk prímszámnak.
Az egész számok felbontása: egy klasszikus eszköz új trükkökkel
A csoport módszerének alapja a számok úgynevezett partíciója, vagyis felbontása. Ez azt vizsgálja, hányféleképpen lehet egy számot pozitív egészek összegeként előállítani – például az 5-öt hétféleképpen lehet így leírni (5; 4+1; 3+2; 3+1+1; 2+2+1; 2+1+1+1; 1+1+1+1+1). A partíciók matematikai vizsgálata már Leonard Euler korában, a 18. században elkezdődött, s mára a kombinatorika központi elemévé vált.
Most azonban a kutatók kimutatták, hogy bizonyos partíciófüggvényeket felhasználva polinomiális egyenletek állíthatók fel, amelyeknek kizárólag a prímek az egész megoldásai. Például a (3n^3 – 13n^2 + 18n – 8)M1(n) + (12n^2 – 120n + 212)M2(n) – 960M3(n) = 0 egyenlet csak akkor teljesül, ha n prímszám. Ebben az M1(n), M2(n), M3(n) jól ismert partíciófüggvények. Ráadásul a bizonyítás szerint végtelen sok ilyen “prímdetektor” formula létezik!
Mi jön ezután?
A felfedezés túlmutat azon, hogy többet tudunk a prímszámok eloszlásáról, vagy hogy „rámutathatunk” minden egyes prímszámra. Elképzelhető, hogy a kombinatorikus függvények rejtett algebrai vagy analitikus tulajdonságainak új vizsgálatát indítja el ez az eredmény. Talán más matematikai struktúrákat is azonosíthatnak partíciófüggvények segítségével, vagy az eredmény kiterjeszthető összetett számokra, aritmetikai függvényekre is.
A mesterséges intelligencia robbanásszerű fejlődése új eszközt jelent az ilyen szinte követhetetlen szabályszerűségek feltárásához. Ez a felfedezés mérföldkőnek számít, habár továbbra is rengeteg nagy, megoldatlan rejtély maradt, például az ikerprím-sejtés vagy a Goldbach-sejtés, amely szerint minden 2-nél nagyobb páros szám két prímszám összegeként írható fel. Ezeket a sejtéseket máig nem sikerült bizonyítani, és úgy tűnik, a prímszámok időnként örökre megőrzik titkaikat.
Az viszont biztos: ahogy Ken Ono mondja, ez a felfedezés a matematika határait feszegeti, és új irányokat nyit meg a számelméletben – azt is megmutatva, hogy a prímszámok az emberi kíváncsiság igazi lakmuszpapírjai.
